Resonancia magnética nuclear (RMN) — Ecuaciones de MatLens

Procesado 1D de RMN de FID a espectro, en el orden habitual: retardo de grupo, offset DC, apodización, relleno con ceros, transformada de Fourier, fase, línea base, referenciado e integrales. Todo el procesado está en matlens/nmr/processing.py::process_fid; la lectura de los ficheros del fabricante (matlens/nmr/io.py, matlens/nmr/mnova.py) solo aporta el FID complejo y los parámetros de adquisición (NMRAcq: SW, SF, O1, núcleo y retardo de grupo).

Origen físico. Tras el pulso, la magnetización transversal precesa a la frecuencia de Larmor de cada núcleo, desplazada por el apantallamiento químico, y decae con $T_2^*$ . El receptor de detección en cuadratura registra la señal compleja (FID) en el sistema rotatorio de la portadora:

f(t) = \sum_k A_k\, e^{i\phi_\text{inst}}\, e^{2\pi i \nu_k t}\, e^{-t/T_{2,k}^*} + \text{ruido}

La transformada de Fourier de cada término es una lorentziana compleja centrada en $\nu_k$ de semianchura $1/(\pi T_2^*)$ (FWHM en Hz); su parte real (absorción) es positiva y simétrica solo cuando la fase total es cero, de ahí la corrección de fase. El área de la absorción es proporcional a $A_k$ , es decir, al número de núcleos equivalentes, lo que justifica la integración cuantitativa. Supuestos: relajación completa entre barridos ( $d_1 \gtrsim 5T_1$ ), excitación uniforme en toda la anchura espectral y respuesta lineal del receptor. Si no se cumplen (repetición rápida, NOE en ¹³C desacoplado, pulsos selectivos), las integrales dejan de ser proporcionales al número de núcleos, y MatLens no lo detecta.

Retardo de grupo y offset DC

Código: matlens/nmr/processing.py::remove_group_delay, matlens/nmr/processing.py::process_fid

Los espectrómetros Bruker con filtro digital (DQD) entregan un FID cuyas primeras $g_d$ muestras son el transitorio del filtro. La parte entera $\lfloor g_d \rfloor$ (puntos) se elimina con un desplazamiento circular del FID (np.roll, de modo que esos puntos pasan al final). La parte fraccionaria $g_d - \lfloor g_d \rfloor$ equivale a un retardo temporal, que en frecuencia es una fase lineal; se corrige tras la FT como fase de primer orden

\phi_1^\text{gd} = -360^\circ\,(g_d - \lfloor g_d \rfloor), \qquad \text{pivote } p = 0.5 .

El offset DC es la media compleja del último 5 % del FID ( $\max(\lfloor N/20\rfloor, 1)$ puntos), donde la señal ya ha decaído, y se resta a todo el FID. Si el FID está truncado (la señal no ha decaído al final de la adquisición), esa media contiene señal y la resta introduce un artefacto en el centro del espectro.

Símbolo	Significado	Unidades
$g_d$	retardo de grupo del filtro digital (GRPDLY de Bruker)	puntos
$N$	número de puntos complejos del FID	—

Apodización, relleno con ceros y transformada

Código: matlens/nmr/processing.py::apodize, matlens/nmr/processing.py::zero_fill, matlens/nmr/processing.py::fourier

f_\text{em}(t_j) = f(t_j)\,e^{-\pi\,\mathrm{LB}\,t_j}, \qquad t_j = \frac{j}{\mathrm{SW}}

f_\text{sine}(j) = f(j)\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\frac{j}{N}\right)

Símbolo	Significado	Unidades
$\mathrm{LB}$	ensanchamiento exponencial (por defecto 0.3)	Hz
$\mathrm{SW}$	anchura espectral (inversa del intervalo de muestreo)	Hz
$N$	número de puntos del FID	—
$j$	índice de muestra, $0 \dots N-1$	—

Significado. Multiplicar por $e^{-\pi\,\mathrm{LB}\,t}$ convoluciona cada línea lorentziana con otra de FWHM $\mathrm{LB}$ : la anchura observada pasa a ser $1/(\pi T_2^*) + \mathrm{LB}$ . Es el filtro adaptado para una línea lorentziana cuando $\mathrm{LB}$ iguala la anchura natural (máxima relación señal/ruido), a costa de resolución. El coseno (campana seno desplazada 90°) atenúa el final del FID para suprimir los artefactos de truncamiento (sinc wiggles), sin desplazar las áreas. La ventana seno solo se usa llamando a apodize(kind="sine"); process_fid aplica siempre la exponencial.

Relleno con ceros hasta $2^{\lceil \log_2(N\cdot z_f)\rceil}$ puntos ( $z_f = 2$ por defecto). El relleno interpola el espectro (resolución digital $\mathrm{SW}/N_\text{fft}$ Hz/punto); con $z_f \ge 2$ recupera la información de la parte imaginaria en la real, pero no mejora la resolución física. Antes de la FFT el primer punto se multiplica por $0.5$ (corrección del primer punto: la regla del trapecio para la integral de Fourier en $t=0$ ; sin ella aparece un escalón de línea base). El espectro se centra con fftshift y se invierte para que los ppm decrezcan de izquierda a derecha.

Eje de desplazamiento químico y referenciado

Código: matlens/nmr/processing.py::ppm_axis, matlens/nmr/processing.py::reference

\delta_j = \delta_\text{portadora} + \frac{\nu_j}{\mathrm{SF}}, \qquad \nu_j \in \left[\tfrac{\mathrm{SW}}{2}, -\tfrac{\mathrm{SW}}{2}\right), \qquad \delta_\text{portadora} = \frac{O_1}{\mathrm{SF}}

con $\mathrm{SF}$ en MHz, $O_1$ y $\nu$ en Hz y $\delta$ en ppm (Hz/MHz = ppm; si el fabricante da la ppm de la portadora se usa directamente). Los $n$ valores de $\nu_j$ se toman con linspace(SW/2, -SW/2, n, endpoint=False). El desplazamiento químico se define respecto a una referencia, $\delta = (\nu - \nu_\text{ref})/\nu_\text{ref}\times10^6$ ; la aproximación $\nu_\text{ref} \approx \mathrm{SF}$ introduce un error relativo del orden de $10^{-6}\,\delta$ , despreciable.

El referenciado desplaza el eje: $\delta \leftarrow \delta + (\delta_\text{verdadero} - \delta_\text{observado})$ . Tablas de disolventes: ¹H (CDCl₃ 7.26, DMSO-d6 2.50, D₂O 4.79, CD₃OD 3.31, acetona-d6 2.05, C₆D₆ 7.16, CD₃CN 1.94, TMS 0.00) y ¹³C (CDCl₃ 77.16, DMSO-d6 39.52, CD₃OD 49.00, acetona-d6 29.84, C₆D₆ 128.06, CD₃CN 1.32, TMS 0.00), valores de Fulmer et al. (2010). El valor del agua residual (D₂O 4.79) depende de la temperatura; MatLens no lo corrige.

Corrección de fase y fase automática ACME

Código: matlens/nmr/processing.py::phase, matlens/nmr/processing.py::autophase_acme

S'(j) = S(j)\,\exp\!\left[i\,\frac{\pi}{180}\left(\phi_0 + \phi_1\left(\frac{j}{n} - p\right)\right)\right]

con $\phi_0$ , $\phi_1$ en grados y pivote $p = 0.5$ (centro del espectro). $\phi_0$ corrige el desfase del receptor (igual para todas las frecuencias); $\phi_1$ , lineal en frecuencia, corrige el retardo entre el pulso y el inicio de la adquisición.

Algoritmo de fase automática. Si process_fid no recibe $\phi_0$ y $\phi_1$ , minimiza, sobre el espectro normalizado a $\max\lvert S\rvert = 1$ :

J(\phi_0,\phi_1) = -\sum_j h_j \ln(h_j + 10^{-12}) + \gamma\, n \sum_{R_j<0} R_j^2, \qquad h_j = \frac{\lvert R_{j+1}-R_j\rvert}{\sum_k \lvert R_{k+1}-R_k\rvert}

con $R = \mathrm{Re}\,S'$ y $\gamma = 5\times10^{-3}$ . El primer término es la entropía de Shannon de la primera derivada: un espectro bien faseado concentra la variación en pocos puntos (líneas estrechas y simétricas) y su entropía es mínima. El segundo penaliza la absorción negativa, que distingue la fase correcta de la invertida 180°.

Puntos de partida: $\phi_0 \in \{-180, -135, \dots, 135\}^\circ$ (8 valores), $\phi_1 = 0$ .
Desde cada uno, Nelder–Mead con xatol = 0.01, fatol = 1e-10, maxiter = 3000; sin cotas.
Se conserva el resultado de menor $J$ y $\phi_0$ se lleva a $[-180, 180)$ ; $\phi_1$ no se reduce.

No se calcula incertidumbre de las fases. La fase automática falla con espectros dominados por una sola línea intensa de disolvente, con líneas anchas o dispersivas por naturaleza, o con mucho ruido; en esos casos conviene fijar las fases a mano.

Nota (diferencia con la literatura): la penalización de intensidades negativas es $\gamma\, n \sum R_j^2$ sobre el espectro normalizado, una forma simplificada de la función de penalización de Chen et al.

Referencia: Chen, Weng, Goh & Garland, J. Magn. Reson. 158 (2002) 164–168, doi:10.1016/S1090-7807(02)00069-1.

Línea base

Código: matlens/nmr/processing.py::process_fid

Por defecto se resta una línea base arPLS (matlens/core/spectra.py, mínimos cuadrados penalizados asimétricamente reponderados; véase la página de matemáticas) con $\lambda = 10^7$ , calculada sobre el eje en ppm creciente y aplicada a la parte real. Se puede desactivar (baseline_method=None). Una línea base demasiado flexible (λ pequeño) absorbe parte de las señales anchas y reduce sus integrales.

Integración

Código: matlens/nmr/processing.py::integrate_regions, matlens/nmr/processing.py::auto_regions

I_r = \int_{\delta_a}^{\delta_b} y\,d\delta \;\;(\text{trapecios}), \qquad I_r^\text{norm} = I_r\,\frac{v_\text{ref}}{I_\text{ref}}

donde $I_\text{ref}$ es la integral de la región de referencia (índice 0 por defecto) y $v_\text{ref}$ su valor asignado (1 por defecto, o el número de protones de esa señal). Los puntos de la región se ordenan por ppm creciente antes de integrar, de modo que las integrales de absorción positiva son positivas; una región con menos de dos puntos vale 0. Si $I_\text{ref} = 0$ no se normaliza (los valores normalizados quedan en 0).

Las regiones automáticas son tramos contiguos con $y > 0.01\max y$ , fusionados si distan menos de 0.05 ppm y ampliados 0.025 ppm a cada lado.

Límites. Una lorentziana tiene colas largas: una región de $\pm k$ semianchuras alrededor del centro solo contiene la fracción $(2/\pi)\arctan k$ del área (≈ 94 % para $k = 10$ ). Si las regiones de señales distintas tienen anchuras relativas diferentes, las razones se sesgan. Los satélites de ¹³C (±0.55 % cada uno para ¹H) y los picos de espín lateral caen fuera o dentro de la región según su anchura. No se propaga incertidumbre a las integrales; el ruido aporta una dispersión $\sigma_I \approx \sigma_y\,\Delta\delta\,\sqrt{n_\text{puntos}}$ que MatLens no informa.

Avisos de validez. Este módulo no emite avisos de validez propios: las comprobaciones de este procesado son responsabilidad del usuario (fase, línea base, relajación completa).

Ejemplo resuelto

Caso sintético: SW = 4000 Hz, SF = 400 MHz, portadora a 4.00 ppm, $N = 4096$ puntos, dos singletes (7.26 ppm con amplitud 1 y 2.00 ppm con amplitud 3, $T_2^* = 0.3$ s), fase de orden cero instrumental de 40°, ruido gaussiano $\sigma = 0.002$ (semilla fija). Se ejecuta process_fid(fid, acq, lb_hz=0.3, zf=2) (ACME + arPLS) y integrate_regions con la región de 7.26 ppm como referencia = 1.

Puntos tras relleno con ceros: 8192; resolución digital 0.4883 Hz/punto.
Fase encontrada por ACME: $\phi_0$ = -36.32°, $\phi_1$ = -1.09° (la convención de signo de phase multiplica por $e^{i\phi}$ ; el valor que anula una fase instrumental de +40° es −40°, y la diferencia con ese valor ideal es el error de la fase automática en este caso: 3.68°).
Máximo del espectro real en 2.002 ppm.

Región (ppm)	Integral $I_r$	Normalizada
7.5 – 7.0	5.3023	1
2.25 – 1.75	16.325	3.079

La razón 3 : 1 esperada de las amplitudes se recupera en la integral normalizada; la desviación residual procede del ruido, de las colas lorentzianas fuera de la región y de la línea base.

Referencias: implementación propia salvo ACME. Desplazamientos de disolventes: Fulmer et al., Organometallics 29 (2010) 2176–2179, doi:10.1021/om100106e. Fundamento general: Keeler, Understanding NMR Spectroscopy, 2.ª ed., Wiley 2010, cap. 5 (procesado de datos).