Ensayos mecánicos — Ecuaciones de MatLens

Esta sección recoge las ecuaciones de los ensayos mecánicos de MatLens: nanoindentación (Oliver–Pharr e ISO 14577), análisis mecánico dinámico (DMA) y ensayos de tracción y compresión. Unidades internas: en nanoindentación carga $P$ en mN, profundidad $h$ en nm, rigidez $S$ en mN/nm, $H$ y $E$ en GPa; en DMA temperatura en °C y módulos en MPa; en tracción fuerza en N, longitudes en mm, tensión en MPa y deformación como fracción.

Nanoindentación: método de Oliver–Pharr

Código: matlens/core/mechanics.py::oliver_pharr, matlens/core/mechanics.py::contact_area, matlens/core/mechanics.py::sample_modulus, matlens/core/mechanics.py::indent_segments.

Ajuste de la descarga y magnitudes derivadas:

P = \alpha\,(h - h_f)^m, \qquad S = \left.\frac{dP}{dh}\right|_{h_{\max}} = \alpha m\,(h_{\max} - h_f)^{m-1}

h_c = h_{\max} - \epsilon\,\frac{P_{\max}}{S}, \qquad A(h_c) = \sum_{i=0}^{8} C_i\, h_c^{\,2/2^i} = C_0 h_c^2 + C_1 h_c + C_2 h_c^{1/2} + \dots

H = \frac{P_{\max}}{A}, \qquad E_r = \frac{\sqrt{\pi}}{2\beta}\,\frac{S}{\sqrt{A}}, \qquad \frac{1}{E_r} = \frac{1-\nu^2}{E} + \frac{1-\nu_i^2}{E_i}

Símbolo	Significado	Unidades / valor por defecto
$P_{\max}$ , $h_{\max}$	carga y profundidad al inicio de la descarga	mN, nm
$\alpha$ , $h_f$ , $m$	parámetros de la ley de potencia	mN/nmᵐ, nm, —
$S$	rigidez de contacto	mN/nm
$\epsilon$	factor geométrico	0.75 (Berkovich)
$\beta$	factor de corrección de la punta	1.034 (Berkovich)
$C_0 \dots C_8$	función de área	$C_0 = 24.5$ , resto 0 (Berkovich ideal)
$H$ ( $H_{IT}$ )	dureza	GPa (1 mN/nm² = $10^6$ GPa)
$E_r$ , $E$ ( $E_{IT}$ )	módulo reducido y de la muestra	GPa
$\nu$	coeficiente de Poisson de la muestra	0.25
$E_i$ , $\nu_i$	constantes del diamante	1141 GPa, 0.07
$C_f$	compliancia del bastidor	nm/mN, 0 por defecto

Procedimiento:

El registro se segmenta en carga, mantenimiento a $P_{\max}$ (puntos con $P \ge 0.99\,P_{\max}$ ), descarga y mantenimiento a carga baja (al menos 8 puntos con variación ≤ 1 % de $P_{\max}$ y carga media entre 2 % y 50 % de $P_{\max}$ ).
Con compliancia del bastidor se corrige punto a punto $h \leftarrow h - C_f P$ .
Deriva térmica opcional: pendiente de $h(t)$ en el mantenimiento a carga baja, descartando el primer 20 % (recuperación viscoelástica); se corrige $h \leftarrow h - \dot{h}_{\mathrm{deriva}}(t - t_0)$ .
Se ajustan los puntos de descarga con $0.2\,P_{\max} \le P \le 0.95\,P_{\max}$ (mínimo 5). Valores iniciales: para cada $h_f$ de una rejilla logarítmica por debajo de $h_{\min}$ se ajusta $\ln P$ frente a $\ln(h-h_f)$ , se refina $h_f$ minimizando la suma de cuadrados en escala lineal, y después curve_fit sin pesos con límites $\alpha \ge 0$ , $h_f < h_{\min}$ , $0.3 \le m \le 6$ .

Incertidumbre: la covarianza de $(\alpha, h_f, m)$ se propaga a $S$ , $H$ , $E_r$ y $E$ en primer orden con un jacobiano numérico (diferencias centradas): $u^2 = \operatorname{diag}(J\,\Sigma\,J^{\mathsf T})$ , $k=1$ .

Validez: con la función de área ideal y $C_f = 0$ se avisa de que $H$ y $E$ no son absolutos sin calibración en sílice fundida.

Referencias: Oliver & Pharr, J. Mater. Res. 7, 1564 (1992); Oliver & Pharr, J. Mater. Res. 19, 3 (2004); ISO 14577-1:2015.

Parámetros ISO 14577 y velocidad de deformación

Código: matlens/core/mechanics.py::oliver_pharr, matlens/core/mechanics.py::thermal_drift_rate.

H_M = \frac{P_{\max}}{26.43\,h_{\max}^2}, \qquad HV_{IT} = 0.0945\,H_{IT}, \qquad C_{IT} = \frac{h_{\max} - h_{\mathrm{hold},0}}{h_{\mathrm{hold},0}}\times100\ \%

W_{\mathrm{total}} = \int_{\text{carga}} P\,dh, \qquad W_{\mathrm{elást}} = -\int_{\text{descarga}} P\,dh, \qquad \eta_{IT} = \frac{W_{\mathrm{elást}}}{W_{\mathrm{total}}}\times100\ \%, \qquad \dot\varepsilon = \frac{\dot h}{h}

$H_M$ es la dureza Martens en GPa; $HV_{IT}$ se calcula con $H_{IT}$ en MPa; $h_{\mathrm{hold},0}$ es la profundidad al inicio del mantenimiento; los trabajos (pJ = mN·nm) se integran por trapecios, excluyendo de la descarga el mantenimiento a carga baja. $\dot\varepsilon$ es la mediana de $(dh/dt)/h$ en el último 20 % de la carga. La deriva térmica (nm/s) se acompaña de su error típico de regresión ( $k=1$ ).

Referencias: ISO 14577-1:2015; Lucas & Oliver, Metall. Mater. Trans. A 30, 601 (1999).

Rigidez continua (CSM)

Código: matlens/core/mechanics.py::csm_profile, matlens/core/mechanics.py::csm_average.

Las relaciones de Oliver–Pharr se aplican punto a punto con la rigidez armónica (N/m, convertida a mN/nm por $10^{-6}$ ), corregida por el bastidor:

\frac{1}{S} = \frac{1}{S_{\mathrm{med}}} - C_f, \qquad h_c = h - \epsilon\,\frac{P}{S}, \qquad H(h) = \frac{P}{A(h_c)}, \qquad E_r(h) = \frac{\sqrt{\pi}\,S}{2\beta\sqrt{A}}

El promedio en un intervalo de profundidades da la media y la desviación típica muestral (ddof = 1) de los puntos. Referencia: Oliver & Pharr 2004, §5.

Calibración de la función de área y de la compliancia del bastidor

Código: matlens/core/mechanics.py::calibrate_area_function.

C = \frac{1}{S} = C_f + \frac{\sqrt{\pi}}{2\beta E_r\sqrt{A}}, \qquad A = \frac{P_{\max}}{H} \;\Rightarrow\; C \text{ lineal en } 1/\sqrt{P_{\max}}

$C_f$ es la ordenada en el origen de $C$ frente a $1/\sqrt{P_{\max}}$ (ajuste lineal con la mitad de mayor carga si hay 6 o más indentaciones); si sale negativa se fija en 0 con aviso.
Con $C_f$ conocido, $S_c = 1/(C - C_f)$ , $A = \pi S_c^2/(4\beta^2 E_r^2)$ y $h_c = h_{\max} - C_f P_{\max} - \epsilon P_{\max}/S_c$ , con $E_r$ del material de referencia (sílice fundida: $E = 72$ GPa, $\nu = 0.17$ ).
$A(h_c)$ se ajusta por mínimos cuadrados lineales con pesos $1/A$ (residuos relativos), con $C_0 = 24.5$ fijo por defecto más $n$ términos (3 por defecto). Se informa el residuo relativo cuadrático medio.

Requiere al menos 3 indentaciones a cargas distintas (rango > 5 % de la carga máxima). Referencia: Oliver & Pharr 2004, §3.2.

Estadística de indentaciones y rechazo de valores atípicos

Código: matlens/core/mechanics.py::indent_statistics, matlens/core/mechanics.py::outlier_mask, matlens/core/mechanics.py::grubbs_critical.

Puntuación z modificada (por defecto) y prueba de Grubbs bilateral iterada:

M_i = \frac{0.6745\,(x_i - \tilde{x})}{\mathrm{MAD}}, \quad |M_i| > 3.5 \Rightarrow \text{rechazo}; \qquad G_{\mathrm{crit}} = \frac{n-1}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{t^2}{n-2+t^2}},\ t = t_{1-\alpha/(2n),\,n-2}

Una indentación se rechaza si es atípica en $H$ o en $E_r$ . Se informa media ± desviación típica muestral (ddof = 1) de las conservadas ( $k=1$ ); con una sola indentación, la incertidumbre del ajuste.

Referencias: Grubbs, Technometrics 11, 1 (1969); ASTM E178; Iglewicz & Hoaglin, How to Detect and Handle Outliers, ASQC (1993).

DMA: temperatura de transición vítrea

Código: matlens/core/mechanics.py::dma_tg, matlens/core/mechanics.py::dma_prepare.

E'' = E'\tan\delta \quad\text{o}\quad \tan\delta = \frac{E''}{E'} \ \text{(si falta una columna)}

Tres criterios: máximo de $E''$ , máximo de $\tan\delta$ (ambos tras suavizado Savitzky–Golay de orden ≤ 3 y refinamiento parabólico con tres puntos) y onset extrapolado de la caída de $E'$ , intersección de la recta ajustada en la región vítrea (por defecto el primer 30 % del intervalo hasta la inflexión) con la tangente en el punto de pendiente mínima de $\log_{10}E'$ (escala logarítmica por defecto):

T_{\mathrm{onset}} = \frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}

Ventana de suavizado por defecto: $\max(5, N/60)$ puntos. Referencias: ASTM D4065; ASTM E1640.

DMA: módulo a temperatura de referencia y densidad de entrecruzamiento

Código: matlens/core/mechanics.py::storage_modulus_at, matlens/core/mechanics.py::crosslink_density.

$E'(T_{\mathrm{ref}})$ es la ordenada de un ajuste lineal local en $\pm5$ °C, con su error típico de la covarianza del ajuste ( $k=1$ ; si hay solo 3 puntos no se da error). Densidad de cadenas elásticamente efectivas en la meseta gomosa:

\nu_e = \frac{E'}{3RT}

$\nu_e$ en mol/m³, $E'$ en Pa, $T$ en K, $R = 8.314462618$ J/(mol·K). Válida para redes poco entrecruzadas en la meseta gomosa. Referencia: Flory, Principles of Polymer Chemistry, Cornell 1953.

DMA: superposición tiempo–temperatura, WLF y Arrhenius

Código: matlens/core/mechanics.py::tts_master_curve, matlens/core/mechanics.py::wlf_log_aT, matlens/core/mechanics.py::fit_wlf, matlens/core/mechanics.py::arrhenius_log_aT, matlens/core/mechanics.py::fit_arrhenius_shift, matlens/core/mechanics.py::activation_energy_from_peaks.

\log_{10} a_T = -\frac{C_1\,(T - T_{\mathrm{ref}})}{C_2 + T - T_{\mathrm{ref}}}, \qquad \log_{10} a_T = \frac{E_a}{R\ln 10}\left(\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{\mathrm{ref}}}\right), \qquad \ln f = \ln f_0 - \frac{E_a}{R\,T_{\mathrm{pico}}}

Curva maestra: cada isoterma ( $\log_{10} f$ , $\log_{10}$ del módulo por defecto) se desplaza horizontalmente sobre su vecina ya desplazada, empezando por la más próxima a $T_{\mathrm{ref}}$ ; el desplazamiento minimiza el error cuadrático medio en la zona de solape (búsqueda en rejilla de paso 0.02 décadas, exigiendo solape ≥ 30 % de los puntos, y refinamiento acotado). Si la isoterma más cercana no está a $T_{\mathrm{ref}}$ , los desplazamientos se re-referencian por interpolación.
WLF: curve_fit de $C_1$ , $C_2$ con valores iniciales universales 17.44 y 51.6 K (necesita ≥ 3 isotermas); errores de la covarianza, $k=1$ .
Arrhenius: regresión por el origen de $\log_{10} a_T$ frente a $1/T - 1/T_{\mathrm{ref}}$ ( $T$ en K), forzando $a_T(T_{\mathrm{ref}}) = 1$ ; $E_a$ en kJ/mol con su error típico.
Desde picos de relajación a varias frecuencias: regresión lineal de $\ln f$ frente a $1/T_{\mathrm{pico}}$ ; con dos puntos no hay error.

Referencias: Williams, Landel & Ferry, J. Am. Chem. Soc. 77, 3701 (1955); Ferry, Viscoelastic Properties of Polymers, 3.ª ed., Wiley 1980.

Tracción: tensión y deformación

Código: matlens/core/mechanics.py::engineering_stress_strain, matlens/core/mechanics.py::true_stress_strain, matlens/core/mechanics.py::machine_compliance.

e = \frac{\delta - C_m F}{L_0}, \qquad s = \frac{F}{A_0}, \qquad \varepsilon_t = \ln(1+e), \qquad \sigma_t = s\,(1+e)

\frac{1}{k} = C_m + \frac{L_0}{E A_0}

Símbolo	Significado	Unidades
$F$ , $\delta$	fuerza y desplazamiento del travesaño	N, mm
$A_0$ , $L_0$	sección y longitud calibrada iniciales	mm², mm
$C_m$	compliancia de la máquina	mm/N
$e$ , $s$	deformación y tensión ingenieriles	—, MPa
$k$	rigidez medida (pendiente lineal F–δ entre el 10 % y el 40 % de la fuerza máxima)	N/mm

La tensión verdadera solo es válida hasta el inicio de la estricción. Referencia: Kalidindi, Abusafieh & El-Danaf, Exp. Mech. 37, 210 (1997) (compliancia).

Tracción: módulo, fluencia, resistencia y alargamientos

Código: matlens/core/mechanics.py::analyze_tensile, matlens/core/mechanics.py::modulus_fit, matlens/core/mechanics.py::offset_yield, matlens/core/mechanics.py::yield_points, matlens/core/mechanics.py::break_index.

Módulo de Young por regresión lineal de $s$ frente a $e$ en la primera rama de carga:

Método r2 (por defecto): ventanas de tensión de anchura $0.15\,\sigma_{\max}$ que se desplazan del 2 % al 70 % de $\sigma_{\max}$ en pasos del 1 %; gana la de mayor $R^2$ (a igualdad, mayor pendiente). Mínimo 5 puntos y pendiente positiva.
Método chord (ASTM E111): ajuste entre el 10 % y el 40 % de $\sigma_{\max}$ (o tensiones en MPa si los límites son > 1).

Incertidumbre de $E$ : error típico de la pendiente de la regresión ( $k=1$ ). Aviso si $R^2 < 0.99$ y si la deformación procede del travesaño.

\sigma_y:\ s(e) = E\,(e - 0.002) + b \quad\text{(primer cruce, interpolado linealmente)}

donde $b$ es la ordenada del ajuste del módulo (compensación del pie de curva). Fluencia discontinua: límite superior = primer máximo local con prominencia ≥ 1 % de $\sigma_{\max}$ , por encima del 30 % de $\sigma_{\max}$ y antes de la resistencia máxima; límite inferior = mínimo durante el escalón de fluencia.

R_m = \sigma_{\max}, \qquad A_g = e(\sigma_{\max}), \qquad A_{g,p} = e(\sigma_{\max}) - \frac{\sigma_{\max}}{E}, \qquad A = e_b - \frac{\sigma_b}{E}

U_T = \int_0^{e_b} s\,de, \qquad U_r = \frac{\sigma_y^2}{2E}

Símbolo	Significado	Unidades
$R_m$	resistencia a la tracción	MPa
$A_g$ , $A_{g,p}$	alargamiento uniforme total y plástico	%
$e_b$ , $\sigma_b$	deformación y tensión en la rotura	%, MPa
$A$	alargamiento tras rotura (parte elástica eliminada)	%
$U_T$	tenacidad (trapecios hasta la rotura)	MJ/m³
$U_r$	resiliencia (con $\sigma_y$ convencional, o el límite superior si no existe)	MJ/m³

Rotura: primera caída de más del 20 % de $\sigma_{\max}$ en un solo paso tras el máximo; si no existe, el último punto con $s \ge 0.1\,\sigma_{\max}$ .

Para varias probetas se informa media ± desviación típica muestral; con una sola probeta, el error típico de regresión de $E$ .

Referencias: ASTM E8/E8M; ASTM E111.

Tracción: exponente de endurecimiento (Hollomon)

Código: matlens/core/mechanics.py::hollomon_fit.

\sigma_t = K\,\varepsilon_t^{\,n} \quad\Rightarrow\quad \log_{10}\sigma_t = \log_{10}K + n\log_{10}\varepsilon_t

Regresión lineal en escala log–log con datos verdaderos hasta la fuerza máxima. Intervalo por defecto: desde $\max(0.02,\, 2\varepsilon_y)$ hasta $\varepsilon_{t,u} = \ln(1 + A_g)$ ; si el límite inferior supera $0.5\,\varepsilon_{t,u}$ se usa $\max(1.5\,\varepsilon_y,\, 0.25\,\varepsilon_{t,u})$ . Se informan $n$ con su error típico ( $k=1$ ), $K$ (MPa) y $R^2$ ; aviso si hay menos de 5 puntos. Según Considère, la estricción comienza en $d\sigma_t/d\varepsilon_t = \sigma_t$ , y para un material de Hollomon $\varepsilon_{t,u} = n$ .

Referencias: ASTM E646; Considère, Ann. Ponts Chaussées 9, 574 (1885).

Compresión de espumas y materiales celulares

Código: matlens/core/mechanics.py::foam_compression.

En modo compresión se usan valores absolutos de $e$ y $s$ y se calculan, además del módulo y la fluencia:

\sigma_{pl} = \langle s \rangle_{0.2 \le e \le 0.4}, \qquad \varepsilon_D^{\mathrm{ISO}}:\ s = 1.3\,\sigma_{pl}, \qquad \eta(e) = \frac{\int_0^e s\,de'}{s(e)}, \qquad \varepsilon_D^{\eta} = \arg\max_{e \ge 0.2}\eta, \qquad \varepsilon_D^{GA} = 1 - 1.4\,\frac{\rho^*}{\rho_s}

$\varepsilon_D^{\mathrm{ISO}}$ es el primer cruce (interpolado) de $1.3\,\sigma_{pl}$ tras el inicio de la meseta; $\varepsilon_D^{\eta}$ se descarta si el máximo está en el último punto; $\varepsilon_D^{GA}$ requiere la densidad relativa $\rho^*/\rho_s$ . La resistencia a compresión es el primer máximo local con prominencia ≥ 2 % del máximo, o el máximo absoluto.

Referencias: ISO 13314:2011; Gibson & Ashby, Cellular Solids, 2.ª ed., Cambridge 1997; Li, Magkiriadis & Harrigan, J. Cell. Plast. 42, 371 (2006).

La ventana de meseta por defecto es 20–40 % (ISO 13314 admite 20–30 % o 20–40 %); es configurable.

Supuestos físicos y límites de validez

Oliver–Pharr parte de la solución de Sneddon para el contacto elástico de un indentador axisimétrico en un semiespacio elástico, isótropo y homogéneo; la descarga se supone puramente elástica. Falla cuando hay apilamiento (pile-up, materiales con poco endurecimiento y $h_f/h_{\max} > 0.7$ , que subestima $A$ y sobreestima $H$ y $E$ ), fluencia viscoelástica durante la descarga (exponente $m$ fuera de 1.2–1.6 o «nariz» en la curva), sustratos influyentes (regla práctica: profundidad < 10 % del espesor de la película), rugosidad comparable a $h_c$ o efecto de tamaño de indentación. $\epsilon$ = 0.75 corresponde a un paraboloide; para un cono plano sería 0.72.
Ensayo de tracción. Las relaciones verdaderas $\varepsilon_t = \ln(1+e)$ , $\sigma_t = s(1+e)$ suponen volumen constante y deformación uniforme: dejan de valer tras el inicio de la estricción (más allá de $R_m$ ). Con la deformación del travesaño el módulo incluye la flexibilidad de máquina y mordazas y queda subestimado.
DMA. $\nu_e = E'/(3RT)$ es la elasticidad del caucho ideal (red afín, factor frontal 1, sin enredos): solo es una estimación en termoestables muy reticulados. La superposición tiempo–temperatura exige un material termorreológicamente simple; WLF se aplica por encima de $T_g$ y Arrhenius por debajo o en relajaciones secundarias.

Incertidumbre: qué se informa y qué no

Resultado	Incertidumbre	Tipo
$S$ , $H$ , $E_r$ , $E$ (una indentación)	covarianza de $(\alpha, h_f, m)$ propagada con jacobiano numérico	analítica de primer orden, k = 1
$H$ , $E$ (varias indentaciones)	desviación típica muestral de las conservadas	estadística, k = 1
$E$ de tracción	error típico de la pendiente	analítica, k = 1
$n$ de Hollomon	error típico de la pendiente log–log	analítica, k = 1
$C_1$ , $C_2$ (WLF), $E_a$ Arrhenius	covarianza del ajuste / error típico	analítica, k = 1
$\sigma_y$ , $R_m$ , alargamientos, $U_T$	ninguna (salvo dispersión entre probetas)	—

No se incluye: la incertidumbre de la función de área y de la compliancia del bastidor, la de las constantes de la punta ( $E_i$ , $\nu_i$ ) ni la del coeficiente de Poisson supuesto $\nu$ ; la deriva térmica no corregida; la incertidumbre dimensional de la probeta ( $A_0$ , $L_0$ ); la calibración de la célula de carga y del extensómetro; ni la elección de la ventana del módulo.

Avisos de validez

Textos definidos en matlens/core/mechanics.py y cuándo se emiten:

W_UNCALIBRATED (resumen de nanoindentación): función de área ideal $24.5\,h_c^2$ y $C_f = 0$ .
W_FEW_INDENTS: menos de 5 indentaciones válidas tras rechazar atípicos.
Calibración: «Ordenada en el origen negativa en C frente a 1/√P; Cf fijada en 0»; error si $C_f$ supera la compliancia medida, si hay menos de 3 indentaciones o si las cargas no son distintas.
W_LINEAR: $R^2 < 0.99$ en el ajuste del módulo de tracción.
W_CROSSHEAD: la deformación procede del travesaño (sin extensómetro).
W_NO_OFFSET: la recta desplazada 0.2 % no corta la curva.
W_HOLLOMON: menos de 5 puntos en el intervalo de Hollomon.
W_CROSSLINK (DMA): recordatorio de la hipótesis de red ideal al informar $\nu_e$ .
Errores (ValueError): menos de 10 puntos tensión–deformación; faltan sección y longitud calibrada; región lineal no encontrada; pocos puntos en la curva carga–desplazamiento o en la descarga; tramo de deriva ausente o corto; isotermas sin solape o menos de dos isotermas en TTS.

Referencias con DOI

DOI comprobados en Crossref: W. C. Oliver y G. M. Pharr, J. Mater. Res. 7 (1992) 1564, doi:10.1557/JMR.1992.1564; W. C. Oliver y G. M. Pharr, J. Mater. Res. 19 (2004) 3, doi:10.1557/jmr.2004.19.1.3; M. L. Williams, R. F. Landel y J. D. Ferry, J. Am. Chem. Soc. 77 (1955) 3701, doi:10.1021/ja01619a008; F. E. Grubbs, Technometrics 11 (1969) 1, doi:10.1080/00401706.1969.10490657. Kalidindi et al. (1997), Lucas y Oliver (1999), Li et al. (2006) y Considère (1885) se citan sin DOI (no verificado); normas y libros por su código o edición.

Ejemplos resueltos

Generados por tools/gen_equation_examples.py (módulo tools/equation_examples/mechanics.py) ejecutando las funciones de MatLens sobre casos sintéticos; no se editan a mano.

Ejemplo resuelto: Oliver–Pharr

Registro sintético de una punta Berkovich ideal: carga $P = P_{max}(h/h_{max})^2$ , mantenimiento de 20 puntos a $P_{max}$ = 10 mN y descarga exacta $P = \alpha(h-h_f)^m$ con $h_{max}$ = 300 nm, $h_f$ = 200 nm, $m$ = 1.5 (rigidez exacta $S$ = 0.15 mN/nm), ruido de 0.002 mN (semilla fija). oliver_pharr con los valores por defecto ( $\epsilon$ = 0.75, $\beta$ = 1.034, $C_0$ = 24.5, $\nu$ = 0.25, $C_f$ = 0):

Magnitud	Valor (± u, k = 1)
$m$	1.5
$h_f$ (nm)	200.02
$S$ (mN/nm)	0.14977 ± 4.2e-05
$h_c$ (nm)	249.83
$A$ (nm²)	1.5292e+06
$H_{IT}$ (GPa)	6.507 ± 0.00072
$E_r$ (GPa)	103.8 ± 0.023
$E_{IT}$ (GPa)	107 ± 0.026
$H_M$ (GPa)	4.193
$\eta_{IT}$ (%)	39.8

Con la función de área ideal y $C_f$ = 0 MatLens añade el aviso de falta de calibración; la incertidumbre solo refleja el ajuste de la descarga.

Ejemplo resuelto: ensayo de tracción y Hollomon

Curva sintética: tramo elástico $E$ = 200 GPa hasta 300 MPa y después $\sigma_t = \max(K\varepsilon_t^n, 300)$ con $K$ = 900 MPa y $n$ = 0.2 pasado a valores ingenieriles ( $s = \sigma_t/(1+e)$ ), 2501 puntos hasta $e$ = 0.25, ruido 0.3 MPa (semilla fija), extensómetro. analyze_tensile:

Magnitud	Valor
$E$ (GPa)	199.1 ± 1.5 ( $R^2$ = 0.99984)
$\sigma_y$ 0.2 % (MPa)	299.9
$R_m$ (MPa)	534.8
$A_g$ (%)	21.16
$n$ (Hollomon)	0.2 ± 2.4e-05
$K$ (MPa)	900
$U_T$ (MJ/m³)	124
avisos	0

Con ruido el máximo de $s$ es plano y su posición se desplaza; Considère predice $\varepsilon_{t,u} = n$ , es decir $A_g = e^{n} - 1$ = 22.14 %.

Ejemplo resuelto: DMA (WLF, Arrhenius, entrecruzamiento)

Factores de desplazamiento de WLF con las constantes «universales» ( $C_1$ = 17.44, $C_2$ = 51.6 K, $T_{ref}$ = 100 °C) en 80–130 °C con ruido gaussiano de 0.05 décadas (semilla fija), reajustados con fit_wlf y fit_arrhenius_shift; y densidad de entrecruzamiento con crosslink_density para $E'$ = 3 MPa a 150 °C:

$T$ (°C)	80	90	100	110	120	130
$\log_{10}a_T$	11.14	4.065	0.0209	-2.86	-4.894	-6.423

WLF: $C_1$ = 17.36 ± 0.28, $C_2$ = 51.25 ± 0.6 K. Arrhenius forzado por $a_T(T_{ref})$ = 1: $E_a$ = 863.8 ± 1.5e+02 kJ/mol (un sistema WLF no es Arrhenius; este valor es solo aparente).

$\nu_e = E'/(3RT)$ = 284.23 mol/m³.