Magnetometría (VSM / SQUID) — Ecuaciones de MatLens

Esta sección recoge las ecuaciones que MatLens usa para analizar lazos M–H, curvas ZFC/FC y la ley de Curie–Weiss, con las unidades y convenciones del código (internamente campo en Oe y momento en emu, sistema cgs).

Conversión de unidades

Código: matlens/core/magnetism.py::field_to_oe, matlens/core/magnetism.py::moment_to_emu, matlens/core/magnetism.py::per_mass, matlens/core/magnetism.py::per_volume.

Magnitud	Equivalencia usada
Momento	1 emu $=10^{-3}$ A·m²
Magnetización másica	1 emu/g $=1$ A·m²/kg
Magnetización volumétrica	1 emu/cm³ $=10^{3}$ A/m
Campo	1 Oe $=10^{3}/(4\pi)$ A/m; 1 T (como $\mu_0 H$ ) $=10^{4}$ Oe; 1 mT $=10$ Oe; 1 G $=1$ Oe

\sigma = \frac{m}{m_{\mathrm{muestra}}}, \qquad M = \frac{m}{V}

con $m$ en emu, la masa de muestra en mg (convertida a g) y $V$ en cm³.

Referencias: Goldfarb & Fickett, NBS Special Publication 696 (1985); IEEE/ASTM SI-10.

Momento por fórmula unidad

Código: matlens/core/magnetism.py::emu_g_to_muB, matlens/core/magnetism.py::muB_to_emu_g.

n_B = \frac{M_s\, M_{fu}}{N_A\mu_B}, \qquad N_A\mu_B = 5584.9\ \text{emu/mol}

$M_s$ en emu/g, $M_{fu}$ masa molar de la fórmula en g/mol (a partir de la fórmula química o dada directamente), $n_B$ en $\mu_B$ por fórmula unidad. Constantes CODATA 2018 ( $N_A = 6.02214076\times10^{23}$ mol⁻¹, $\mu_B = 9.2740100783\times10^{-21}$ erg/G).

Referencia: Cullity & Graham, Introduction to Magnetic Materials, 2.ª ed., Wiley 2009, §6.2.

Pendiente de campo alto y parámetros del lazo

Código: matlens/core/magnetism.py::high_field_slope, matlens/core/magnetism.py::loop_parameters, matlens/core/magnetism.py::split_branches, matlens/core/magnetism.py::center_loop.

Fondo lineal (para- o diamagnético) ajustado conjuntamente en ambas ramas de campo alto con pendiente común e interceptos separados:

M = \pm M_s^{\pm} + \chi_{hf} H \quad (|H| \ge H_{\min}), \qquad M_s = \tfrac{1}{2}\left(M_s^{+} - M_s^{-}\right)

Por defecto (saturation="approach", matlens/core/magnetism.py::high_field_approach) se añade el término de aproximación a la saturación, con ambas ramas plegadas a $H>0$ :

M = M_s + \chi_{hf} H + a\,|H|^{\beta}, \qquad \beta = -2 \quad (|H| \ge H_{\min} = 0.7\,H_{\max})

El ajuste es lineal en los parámetros: mínimos cuadrados ordinarios (numpy.linalg.lstsq, sin pesos) sobre la matriz $[1,\ h,\ h^{-2}]$ con $h = |H|/H_{\max}$ (campo reducido, para que la matriz esté bien condicionada) y $M\,\mathrm{sign}(H)$ como variable dependiente; $\chi_{hf}$ se devuelve dividiendo la pendiente reducida por $H_{\max}$ . Se necesitan al menos 6 puntos y rango 3. Si el ajuste da $a > 0$ (aproximación desde arriba, no física) o $M_s \le 0$ , se usa el ajuste lineal y se añade la nota «Aproximación a la saturación no aplicable». Sin este término, un lazo que no satura en el campo máximo atribuye la curvatura a $\chi_{hf}$ y subestima $M_s$ .

Referencias: K. Fabian, Phys. Earth Planet. Inter. 154 (2006) 299; M. Jackson y P. Solheid, Geochem. Geophys. Geosyst. 11 (2010) Q04Z15.

Parámetros del lazo tras restar $\chi_{hf} H$ :

H_c = \tfrac{1}{2}\left(H_{c2} - H_{c1}\right), \qquad H_{EB} = \tfrac{1}{2}\left(H_{c1} + H_{c2}\right), \qquad M_r = \tfrac{1}{2}\left(M_r^{+} - M_r^{-}\right), \qquad S = \frac{M_r}{M_s}

M_{\mathrm{shift}} = \tfrac{1}{2}\left(\langle M\rangle_{H \ge H_{\min}} + \langle M\rangle_{H \le -H_{\min}}\right)

Símbolo	Significado	Unidades
$H_{\min}$	campo mínimo del ajuste de campo alto; por defecto $0.7\,\max\lvert H\rvert$	Oe
$\chi_{hf}$	susceptibilidad de campo alto restada	(unidad de M)/Oe
$M_s$	magnetización de saturación	unidad de M
$H_{c1}$ , $H_{c2}$	cruces por $M=0$ de la rama descendente y ascendente	Oe
$M_r^{+}$ , $M_r^{-}$	$M(H=0)$ en la rama descendente y ascendente	unidad de M
$H_{EB}$	desplazamiento por exchange bias	Oe
$M_{\mathrm{shift}}$	desplazamiento vertical	unidad de M

Procedimiento: el barrido se divide en ramas monótonas (se descartan las de menos de 5 puntos); los cruces por cero y $M_r$ se obtienen por interpolación lineal; si hay varios cruces en una rama se toma el de menor $|H|$ . Sin restar fondo, $M_s = \tfrac{1}{2}(\max M - \min M)$ . Si solo hay una rama, $H_c$ es el $|H_c|$ de esa rama, $H_{EB} = 0$ y se anota que el lazo es incompleto. Se informan valores absolutos de $M_s$ , $M_r$ y $H_c$ . center_loop resta $H_{EB}$ y $M_{\mathrm{shift}}$ .

Incertidumbre: no se propaga en estos parámetros.

Validez: el fondo lineal solo es correcto si la muestra está saturada para $|H| \ge H_{\min}$ .

Referencias: Cullity & Graham 2009, cap. 9 y §9.5; Nogués & Schuller, J. Magn. Magn. Mater. 192, 203 (1999).

Ley de aproximación a la saturación y anisotropía

Código: matlens/core/magnetism.py::law_of_approach, matlens/core/magnetism.py::anisotropy_from_b.

M(H) = M_s\left(1 - \frac{a}{H} - \frac{b}{H^2}\right) + \chi H

b = \frac{8}{105}\frac{K_1^2}{M_s^2}\ \text{(cúbica)}, \qquad b = \frac{4}{15}\frac{K^2}{M_s^2}\ \text{(uniaxial)} \quad\Rightarrow\quad |K_1| = M_s\sqrt{b/c}

Símbolo	Significado	Unidades
$a$	término de inclusiones/defectos (opcional)	Oe
$b$	término de anisotropía magnetocristalina	Oe²
$\chi$	susceptibilidad forzada (opcional)	(unidad de M)/Oe
$c$	8/105 (cúbica) o 4/15 (uniaxial)	—
$K_1$	primera constante de anisotropía, policristal aleatorio	erg/cm³ (×0.1 para J/m³)
$M_s$ en $K_1$	magnetización por volumen	emu/cm³

Ajuste: mínimos cuadrados no lineales sin pesos (scipy.optimize.curve_fit) con los puntos $|H| \ge H_{\min}$ ; ambas ramas se pliegan a $H>0$ con $M\,\mathrm{sign}(H)$ . Valores iniciales: $M_s = \max M$ , $a = 0$ , $b = (0.05\,H_{\min})^2$ , $\chi = 0$ . $a$ y $\chi$ pueden fijarse en 0. Se exige $b \ge 0$ para calcular $K_1$ .

Incertidumbre: $\sigma(M_s)$ y $\sigma(b)$ son la raíz de la diagonal de la covarianza de curve_fit (escalada por el residuo), $k=1$ .

Nota (comportamiento del código): cuando $a$ o $\chi$ se fijan en 0, el parámetro sigue entre los argumentos de curve_fit aunque no influye en el modelo; la covarianza resulta singular y $\sigma(M_s)$ , $\sigma(b)$ salen NaN (véase el ejemplo resuelto). Los valores centrales no se ven afectados.

Referencias: Akulov (1931); Néel (1948); Chikazumi, Physics of Ferromagnetism, 2.ª ed., OUP 1997, §18.4, ec. 18.61–18.62.

Temperatura de bloqueo (ZFC/FC)

Código: matlens/core/magnetism.py::blocking_temperature.

Método max: $T_B = T_{\max}$ , máximo de la curva ZFC suavizada (media móvil de 5 puntos) refinado con una parábola por los tres puntos alrededor del máximo.

Método derivative:

f(T) \propto -\frac{d\left(M_{FC} - M_{ZFC}\right)}{dT}, \qquad \langle T_B\rangle = \int T\, f(T)\, dT \Big/ \int f(T)\, dT

con $f$ recortada a valores no negativos, ambas curvas interpoladas sobre la rejilla común de temperaturas y suavizadas. $T_{irr}$ es la temperatura a partir de la cual $|M_{FC}-M_{ZFC}|$ cae por debajo del 2 % (por defecto) de su máximo.

Validez: conjunto de nanopartículas no interactuantes; $T_{\max} \approx \beta\langle T_B\rangle$ con $\beta \approx 1.5$ –2. Incertidumbre: no se propaga.

Referencias: Micha et al., J. Magn. Magn. Mater. 272–276, e967 (2004); Bruvera et al., J. Appl. Phys. 118, 184304 (2015).

Ley de Curie–Weiss y momento efectivo

Código: matlens/core/magnetism.py::curie_weiss_fit, matlens/core/magnetism.py::molar_susceptibility, matlens/core/magnetism.py::spin_only_moment.

\chi_{mol} = \frac{M}{H}\, M_{fu}, \qquad \chi_{mol} = \frac{C}{T - \theta} + \chi_0

\mu_{\mathrm{eff}} = \sqrt{\frac{3 k_B |C|}{N_A \mu_B^2}} \approx 2.828\sqrt{C}, \qquad \mu_{\mathrm{so}} = g\sqrt{S(S+1)},\ S = n/2

Símbolo	Significado	Unidades
$\chi_{mol}$	susceptibilidad molar	emu/(mol·Oe)
$C$	constante de Curie	emu·K/(mol·Oe)
$\theta$	temperatura de Weiss ( $\theta<0$ : interacciones antiferromagnéticas dominantes)	K
$\chi_0$	término independiente de $T$ (opcional)	emu/(mol·Oe)
$\mu_{\mathrm{eff}}$	momento efectivo	$\mu_B$ por fórmula unidad
$g$ , $n$	factor g (2 por defecto) y número de electrones desapareados	—

Ajuste: valores iniciales de la recta $1/\chi = (T-\theta)/C$ ; después curve_fit no lineal sin pesos sobre $\chi$ en el intervalo $[T_{\min}, T_{\max}]$ elegido (mínimo 4 puntos). $k_B = 1.380649\times10^{-16}$ erg/K.

Incertidumbre: $\sigma(C)$ y $\sigma(\theta)$ de la covarianza del ajuste, $k=1$ .

Validez: solo en el régimen paramagnético, $T$ muy por encima de la temperatura de orden.

Referencias: Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8.ª ed., cap. 11; Blundell, Magnetism in Condensed Matter, OUP 2001, §2.3 y §5.1.

Modelo de Néel para espinelas e inversión a partir de Ms

Código: matlens/core/magnetism.py::neel_moment, matlens/core/magnetism.py::inversion_from_moment.

Para $(\mathrm{M}_{1-x}\mathrm{Fe}_x)[\mathrm{M}_x\mathrm{Fe}_{2-x}]\mathrm{O}_4$ con dos subredes colineales:

m_A = (1-x)\,m_M + x\,m_{Fe}, \qquad m_B = x\,m_M + (2-x)\,m_{Fe}, \qquad n_B = m_B - m_A

x = \frac{n_B - (2m_{Fe} - m_M)}{2m_M - 2m_{Fe}}, \qquad u(x) = \frac{u(n_B)}{|2m_M - 2m_{Fe}|}

$m_M$ es el momento de solo espín del catión ( $\mu_B$ , tabla de reglas de Hund: Fe³⁺ 5, Fe²⁺ 4, Mn²⁺ 5, Co²⁺ 3, Ni²⁺ 2, Cu²⁺ 1, Zn²⁺/Mg²⁺ 0…) y $m_{Fe} = 5\,\mu_B$ . Si no se da $u(n_B)$ se toma el 5 % de $n_B$ . El resultado se recorta a $[0,1]$ con aviso.

Validez: espines colineales; la inclinación (Yafet–Kittel), el desorden superficial y los momentos orbitales (Co²⁺, con aviso específico) alteran $M_s$ ; $n_B$ debe ser el momento a 0 K o baja temperatura. Valor solo orientativo.

Referencias: Néel, Ann. Phys. 3, 137 (1948); Cullity & Graham 2009, §6.4 y tablas 6.2–6.3; Yafet & Kittel, Phys. Rev. 87, 290 (1952); Smit & Wijn, Ferrites, Philips 1959, tabla 9.2 (valores de validación).

Supuestos físicos y límites de validez

Unidades cgs. Todo el cálculo interno es en Oe y emu; el campo en tesla se interpreta como $\mu_0 H$ (1 T → $10^4$ Oe). En materiales con magnetización grande y muestras no esféricas el campo interno difiere del aplicado por el campo desmagnetizante $H_i = H - N_d M$ ; MatLens no corrige la desimanación, lo que afecta a la forma del lazo y a $M_r/M_s$ , no a $M_s$ .
Pendiente de campo alto. Restar $\chi_{hf} H$ supone que la fase ferromagnética está saturada para $|H| \ge H_{\min}$ ; si no lo está, la ley de aproximación absorbe la curvatura, pero un lazo muy lejos de la saturación (p. ej. superparamagnético a temperatura ambiente) sigue dando $M_s$ subestimado.
Curie–Weiss solo describe el régimen paramagnético con $T \gg |\theta|$ ; cerca de la temperatura de orden, la curvatura de $1/\chi$ sesga $\theta$ . La relación $\mu_{\mathrm{eff}} \approx 2.828\sqrt{C}$ supone $C$ en emu K mol⁻¹ Oe⁻¹ por fórmula unidad y no resta diamagnetismo del núcleo salvo que se ajuste $\chi_0$ .
ZFC/FC. El método de la derivada supone partículas no interactuantes y una distribución de barreras de energía; con interacciones dipolares fuertes $T_B$ es aparente.

Incertidumbre: qué se informa y qué no

Resultado	Incertidumbre	Tipo
$M_s$ , $M_r$ , $H_c$ , $H_{EB}$ del lazo	ninguna	—
Ley de aproximación: $M_s$ , $b$	covarianza de `curve_fit`	analítica, k = 1
$K_1$	ninguna (no se propaga $\sigma(b)$ )	—
Curie–Weiss: $C$ , $\theta$	covarianza de `curve_fit`	analítica, k = 1
$\mu_{\mathrm{eff}}$	ninguna	—
Inversión $x$	$u(n_B)/\lvert 2m_M - 2m_{Fe}\rvert$ , con $u(n_B)$ = 5 % si no se da	analítica, k = 1

No se incluye: la incertidumbre de la masa o del volumen de la muestra, la calibración del magnetómetro, el campo remanente del imán superconductor (que desplaza $H_c$ y simula exchange bias de unas decenas de Oe), la elección de $H_{\min}$ ni el error del modelo de Néel.

Avisos de validez

Notas y avisos que añade el código:

loop_parameters: «Aproximación a la saturación no aplicable: Ms por ajuste lineal a campo alto» (el ajuste no lineal da $a > 0$ , $M_s \le 0$ o está indeterminado); «Lazo incompleto: Hc de una sola rama, sin desplazamiento de intercambio».
inversion_from_moment: siempre advierte que supone espines colineales; además «La inversión calculada cae fuera de [0, 1]; se recorta» y, para Co, «Co²⁺ tiene contribución orbital…».
Errores (ValueError): masa o volumen no positivos; menos de 3 puntos a campo alto; lazo con menos de 10 puntos; menos de 5 puntos en la ley de aproximación; $b < 0$ al calcular $K_1$ ; método de la derivada sin curva FC; Curie–Weiss con unidades distintas de emu o emu/g, sin masa molar o con menos de 4 puntos; $m_M = m_{Fe}$ en la inversión (el momento no depende de $x$ , p. ej. Mn²⁺).

Nota: el primer aviso de inversion_from_moment (espines colineales) es una cadena literal sin marcar para traducción (N_), a diferencia de los otros dos.

Referencias con DOI

DOI comprobados en Crossref: J. Nogués e I. K. Schuller, J. Magn. Magn. Mater. 192 (1999) 203, doi:10.1016/S0304-8853(98)00266-2; Y. Yafet y C. Kittel, Phys. Rev. 87 (1952) 290, doi:10.1103/PhysRev.87.290. Los demás artículos (Fabian 2006; Jackson y Solheid 2010; Micha et al. 2004; Bruvera et al. 2015; Néel 1948) se citan sin DOI porque no se han verificado; los libros se citan por edición.

Ejemplos resueltos

Generados por tools/gen_equation_examples.py (módulo tools/equation_examples/magnetism.py) ejecutando las funciones de MatLens sobre casos sintéticos; no se editan a mano.

Ejemplo resuelto: parámetros del lazo M–H

Lazo sintético (emu/g frente a Oe): ramas $M_s\tanh[(H - H_{EB} \pm H_c)/w]$ con $M_s$ = 60 emu/g, $H_c$ = 150 Oe, $H_{EB}$ = -20 Oe, $w$ = 400 Oe, más una cola de aproximación $-M_s b/H^2$ ( $b$ = 4e+05 Oe², solo para $|H|$ > 3000 Oe), un fondo diamagnético $\chi$ = -2e-05 emu g⁻¹ Oe⁻¹ y ruido gaussiano de 0.02 emu/g (semilla fija); barrido ±20 kOe, 1601 puntos. loop_parameters:

Saturación	$M_s$ (emu/g)	$\chi_{hf}$	$M_r$ (emu/g)	$H_c$ (Oe)	$H_{EB}$ (Oe)	$M_r/M_s$
aproximación (por defecto)	59.895	-1.59e-05	21.45	150	-19.9	0.358
lineal	59.746	-9.99e-06	21.45	150	-19.9	0.359

Con la fórmula Fe₃O₄ ( $M_{fu}$ = 231.533 g/mol), emu_g_to_muB da $n_B$ = 2.483 $\mu_B$ /f.u.

La diferencia entre las dos filas es el sesgo que introduce atribuir la curvatura de campo alto a $\chi_{hf}$ (ajuste lineal); no se informa como incertidumbre.

Ejemplo resuelto: ley de aproximación a la saturación y K₁

Rama sintética $M = M_s(1 - b/H^2)$ con $M_s$ = 480 emu/cm³ y $b$ = 4e+05 Oe², 151 puntos entre 5 y 20 kOe, ruido 0.05 emu/cm³ (semilla fija); law_of_approach con $a$ y $\chi$ libres y anisotropy_from_b (cúbica):

Magnitud	Valor
$M_s$ (emu/cm³)	480.146 ± 0.23
$b$ (Oe²)	3.8844e+05 ± 1.5e+04
rms del residuo (emu/cm³)	0.0437
$a$ (Oe)	3.39
$\chi$	-4.31e-06
$\lvert K_1\rvert$ (erg/cm³)	1.084e+06

Con $a$ y $\chi$ fijados en 0 el ajuste da $M_s$ = 479.993 y $b$ = 3.9937e+05 Oe², pero $u(M_s)$ = nan y $u(b)$ = nan: los parámetros fijados siguen dentro de curve_fit sin influir en el modelo, la covarianza es singular y las incertidumbres salen NaN.

Ejemplo resuelto: Curie–Weiss y momento efectivo

Susceptibilidad molar sintética $\chi = C/(T-\theta)$ con $C$ = 4.38 emu K mol⁻¹ Oe⁻¹ y $\theta$ = -15 K, ruido relativo 0.2 % (semilla fija), ajustada con curie_weiss_fit en 100–300 K:

Magnitud	Valor
$C$ (emu K mol⁻¹ Oe⁻¹)	4.3794 ± 0.0035
$\theta$ (K)	-14.96 ± 0.13
$\mu_{eff}$ ( $\mu_B$ )	5.918
$\mu_{so}$ con $n$ = 5, $g$ = 2 ( $\mu_B$ )	5.916

Ejemplo resuelto: inversión de espinelas a partir de n_B

inversion_from_moment con los momentos de la tabla de validación FERRITE_LITERATURE_MUB (NiFe₂O₄, CuFe₂O₄, MgFe₂O₄, CoFe₂O₄) y $u(n_B)$ por defecto (5 %):

Ion M	$n_B$ ( $\mu_B$ )	$x$	$u(x)$	n.º de avisos
Ni2+	2.3	0.95	0.019	1
Cu2+	1.3	0.963	0.0081	1
Mg2+	1.1	0.89	0.0055	1
Co2+	3.7	0.825	0.046	2

Siempre hay al menos un aviso (espines colineales); Co²⁺ añade el de contribución orbital y, si $x$ cae fuera de [0, 1], el de recorte. Con Mn²⁺ ( $m$ = 5 $\mu_B$ = $m_{Fe}$ ) la función rechaza el cálculo: el momento no depende de $x$ .